Medidas de tendencia central

5. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.
Las medidas de tendencia central son valores que generalmente tienden a ubicarse hacia el centro de una distribución. Las tres medidas más frecuentes de tendencia central son media, mediana y moda.
5.1 MEDIA o PROMEDIO.
Es un valor que tiende a situarse en el centro del conjunto de datos ordenados segun su magnitud. Es equivalente a dividir la suma de todos los puntajes, entre el número total de éstos, en la distribución.

Para el ejemplo: X =  (107+111+111+....) = 7724/64 = 120.69
Realizar estas operaciones, haciendo uso de papel y lápiz o de una calculadora normal, sería bastante dispendioso. Haga uso de la hoja electronica Excel, digite estos mismos datos en una columna cualquiera, por ejemplo a partir de la celda A1.

	A
1	107
2	111
3	112
..	...
64	135
65	=PROMEDIO(B2:B65)

En la celda A65 haga uso de la funcion PROMEDIO. Obtendrá el resultado esperado.
Para datos agrupados: (haga uso de la hoja electronica)
 o X =  m_if_i/ N en donde
m_i = marca de clase de la i-esima clase
f_i = frecuencia de la i-esima clase
Tabla 2

Intervalo Yj-1 – Yj	Marca de clase (m)	Frecuencia (f)	mf	f. Acumula (N)
107 – 111	109	3	327	3
112 – 116	114	12	1,368	15
117 – 121	119	21	2,499	36
122 – 126	124	18	2,232	54
127 – 131	129	8	1,032	62
132 – 136	134	2	268	64
Suma		64	7,726
Media			120.72

Metodo abreviado.  o X = A +  d_if_i/ N
Otra forma de obtener la media, cuando los intervalos de clase son iguales. Se toma una media supuesta (A) aquella marca de clase que tenga mayor numero de frecuencias (aunque se puede tomar cualquiera), luego se toman las diferencias de cada marca con respecto a esta (A).

Marca de clase (m)	Diferencias d=X-A	Frecuencia (f)	df
109	-10	3	-30
114	-5	12	-60
A 119	0	21	-
124	5	18	90
129	10	8	80
134	15	2	30
Suma		64	110
Media			1.72

 o X =  m_if_i/ N = 119 + 1.72 = 120.72

5.2 MEDIANA.
Es el valor medio o la media artimética de los valores ordenados en orden de magnitud. Un 50% de los puntajes quedan encima de la mediana, y 50% por debajo. Si los puntajes suman un número par, la mediana es el promedio de los dos puntajes centrales, y por lo tanto ninguno puede atribuirsela. Si embargo si la suma de los puntajes es impar, la mediana sólo es el puntaje central.
Ejemplo:
3,4,4,5,6,8,8,8,10 la mediana es 6 ( Número de datos impares)
5,5,7,9,11,12,15,18 la mediana es igual a 1/2(9+11) = 10 (Número de datos pares)
Para nuestro ejemplo modelo: 107,111,111,112,........ 135 (hay 64 datos) (121 +121)/2 = 121
Para datos agrupados la fórmula viene dada por:
Mediana =
L₁ = Límite real inferior de la clase mediana (clase que contiene la mediana)
N = Número de datos (frecuencia total)
( f)₁ = Suma de las frecuencias de todas las clases por debajo de la clase mediana
f = Frecuencia de la clase mediana
C = Tamaño del intervalo de la clase mediana
Ejemplo:

Intervalo	Frecuencia (f)
107 – 111	3
112 – 116	12
117 – 121	21
122 – 126	18
127 – 131	8
132 – 136	2
Suma	64

L₁ = (116+117)/2 = 116.5
N = 64
( f)₁ = (3 +12) = 15
f = 21
C = 5
Mediana = 116.5 + [(64/2 – 15)/21](5) = 120.5
5.3 MODA.
Es el valor que se presenta con la mayor frecuencia en una distribución.
2,2,5,9,9,9,10,10,12,18 la moda es 9 (equivalente al 30%)
3,5,8,10,12,15,16 no tiene moda
2,3,4,4,4,5,5,7,7,7 la moda es 4 y 7 (bimodal) (30% cada uno)
Para datos agrupados la fórmula viene dada por:

L_mo = Límite real inferior de la clase modal
d₁ = Diferencia (sin considerar signo) entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase precedente
d₂ =Diferencia (sin considerar signo) entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase siguiente.
W = Amplitud de la clase modal (intervalo de la clase)
Existen otras fórmulas para la variable continua, cuando la amplitud es constante.
Para nuestro ejemplo:
L_mo = 116.5 (21 es la frecuencia mayor)
d₁ = [21 - 12] = 9
d₂ = [21 – 18] = 3
W = 5
Moda = 116.5 + 9/(9+3)* 5 = 120.25

5.4 CUARTILES, DECILES, PERCENTILES.
Cuando la distribución contiene un numero alto de intervalos o de marcas de clase y se requiere obtener un promedio de una parte de ella, se puede dividir la distribución en cuatro, diez o en cien partes. En el primer caso se habla de Cuartiles, en el segundo Deciles y en el último Centiles o Percentiles.
Asi por ejemplo, si una serie de datos se colocan en orden de magnitud, el valor medio que divide al conjunto de datos en dos partes iguales es la mediana. Aquellos valores que dividen a los datos en cuat ro partes iguales representados por Q₁, Q₂ y Q₃ se llaman primero, segundo y tercer cuartil. En igual forma, los valores que dividen los datos en diez partes iguales se llaman deciles (D₁, D₂, ....D₉) y los que dividen en cien partes iguales se llaman percentiles (P₁, P₂,...P₉₉)
El primer cuartil (Q₁) se define como el valor de la variable que supera al 25% de las observaciones y es superado por el 75% de las observaciones.
Ejemplo: tomando los datos ejemplo de la Tabla 1
Primer Cuartil (Q₁) = N/4 64/4 = 16 es tomado para los casos comenzando desde el más bajo, en este caso no aparece, el más cercano por defecto es 15 (N_j-1), por lo tanto N_j sera 19. Por lo tanto Q₁ = 117
Tercer Cuartil (Q₃) = 3N/4 = 3(64)/4 = 48, en este caso si existe, o sea N_j-1= 48 y N_j = 51, por lo tanto Q₃ = (Y_j-1 + Y_j)/2 = (124+125)/2 = 124.5
Percentil 80 P₈₀ = 80N/100 = 80(64)/100 = 51.20 en este caso no aparece, el mas cercano por defecto es 51 (N_j-1), por lo tanto N_j sera 54. Por lo tanto P₈₀ = 126
Para datos agrupados. Ver Tabla 2
Primer Cuartil
Q₁ = Y_j-1 + C [(f/4 – N_j-1)/ f_j] para N_j-1 < f/4
64/4 = 16, por lo tnato N_j-1 = 15 y Nj = 36
Q₁ = 116 + 5 [(16-15)/21] = 116.2
Sexto Decil. D6
6(64)/10 = 38.4, por lo tnato N_j-1 = 36 y Nj = 54
D₆ = 121 + 5 [(38.4 – 36)/18] = 121.6
Ejercicios
La casa Rutherford acaba de instalar una nueva máquina para la fabricacion de rodamientos. Con el fin de establecer una norma de funcionamiento y determinar la precision de esta nueva máquina, todos los rodamientos producidos en un día determinado se miden cuidadosamente. Las características que interesa es el diámetro interno, que es una variable cuantitativa continua.
4.94 5.06 4.96 4.96 5.01 5.04 4.95 4.99 4.98 5.01 5.00 4.96 5.01
5.02 4.97 5.00 5.01 5.00 5.02 4.98 5.04 5.95 4.97 4.99 5.00 5.00
4.98 5.03 5.00 5.02 4.99 4.97 5.01 5.04 5.02 4.98 5.01 5.03 4.98
5.00 5.03 5.01 5.02 5.01 4.99
Ordendando los datos de menor a mayor:
4.94 4.95 4.95 4.96 4.96 4.96 4.97 4.97 4.97 4.98 4.98 4.98
4.98 4.98 4.99 4.99 4.99 4.99 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00
5.00 5.01 5.01 5.01 5.01 5.01 5.01 5.01 5.01 5.02 5.02 5.02
5.02 5.02 5.03 5.03 5.03 5.04 5.04 5.04 5.06
Los valores cuantitativos van de 4.94 (rango inferior) a 5.06 (rango superior). Los intervalos de clase son de igual amplitud y no se superponen.
Datos no agrupados:
Media o Promedio  =  x_i/ N = 224.94/45 = 4.9986
Mediana= 5.0 (Observacion central)
Moda= 5.01 (Mayor frecuencia)
Datos agrupados:

Diametro	Marca de clase (m)	Frecuencia (f)	Mf
4.94 – 4.95	4.945	3	14.835
4.96 – 4.97	4.965	6	29.790
4.98 – 4.99	4.985	9	44.865
5.00 – 5.01	5.005	15	75.075
5.02 – 5.03	5.025	8	40.200
5.04 – 5.05	5.045	3	15.135
5.06 – 5.07	5.065	1	5.065
Sumas		45	224.965

Promedio  =  m_if_i/ N = 224.95/45 = 4.9992
Mediana =
L₁ = (4.99 + 5.00)/2 = 4.995
N = 45
( f)₁ = (3 + 6 + 9) = 18
f = 15
C = 2
Mediana = 4.995 + [( 22.5 – 18)/15 ] 2 = 5.595
Moda = Lmo + W [ d₁ /(d₁ + d₂)]
Lmo = 4.995
d1 = (15 – 9) = 6
d2 =(15 – 8) = 7
W = 2
Moda = 4.995 + [6/(6+7)](2) = 5.918

1) Las calificaciones de un estudiante en seis pruebas fueron: 5.4, 4.0, 3.6, 4.5, 3.5, 4.0. Cuál es la calificación media ?.

2) Cuatro grupos de estudiantes, formados por 15, 20, 10 y 18 individuos registran una media de peso de 162, 148, 153 y 140 libras, respectivamente. Hallar el peso medio de todos los estudiantes.

3) Hallar la mediana de las calificaciones del punto 1.

4) Teniendo en cuenta la tabla anterior (de los pesos en Kgs).

a) Hallar el deciles D2, D5
b) Hallar el percentil P3, P35, P60

5) Si clasificamos 220 municipios en grandes, medianos y pequeños de acuerdo con el número de habitantes de forma que tenemos 49 grandes, 63 medianos y 108 pequeños, cómo los representaría en un histograma de frecuencias ?